Άσκηση 8

(α)    Χρησιμοποιείστε την $\sin (2x)=2\sin x \cos x$ μαζί με τον τύπο

$$\int ^{+\infty}_0 \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$$

για να δείξετε οτι $\int ^{+\infty}_0 \frac{\sin x\cos x}{x}dx=\frac{\pi}{4}$.
(β)     Με ολοκλήρωση κατά μέρη στην (α) δείξτε οτι $\int ^{+\infty}_0 \frac{\sin ^2x}{x^2}dx =\frac{\pi}{2}$.
(γ)    Από την (β), την $\sin ^2x+\cos^2x=1$ και αλλαγή $x=2x^\prime$ αποδείξτε οτι $\int ^{+\infty}_0 \frac{\sin ^4x}{x^2}dx=\frac{\pi}{4}$.
(δ)    Από την (γ) δείξτε οτι $\int ^{+\infty}_0 \frac{\sin ^4x}{x^4}dx=\frac{\pi}{3}$.

Υπόδειξη Λύση