Η συνάρτηση $\Gamma$ (γάμμα)

Έστω $x>0$ και ας θεωρήσουμε την συνάρτηση $f(t, x)=t^{x-1} e^{-t}$ για $t>0$. Σχηματίζουμε το γενικευμένο ολοκλήρωμα

$$\int ^{+\infty} _0 f(t, x)dt=\int ^{+\infty}_0 t^{x-1}e^{-t}dt$$

Έστω ορίζεται μια συνάρτηση του $x$ που συμβολίζουμε με $\Gamma(x)$ και ονομάζουμε $\hbox{συνάρτηση Γάμμα}$. Αποδεικνύεται οτι το γενικευμένο αυτό ολοκλήρωμα συγκλίνει για κάθε $x>0$ και συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε διάστημα $I=[A, B]$ όπου $0<A\leq B < +\infty$. Η συνάρτηση $\Gamma$ στο $(0, +\infty)$ είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη και ισχύει $\Gamma ^{(n)} (x) = \int ^{+\infty}_0 t^{x-1} (\log t)^n e^{-t} dt\ ,\ n \in \mathbb N$. Επιπλέον ιδιότητες είναι οι εξής: (α)     $\Gamma (x) \geq 0$ και $\Gamma (x) \rightarrow +\infty$ όταν $x \rightarrow 0^+$ ή $x \rightarrow +\infty$
(β)      $\Gamma(1)=1\ ,\ \Gamma(n)=(n-1)!\ ,\ n \in \mathbb N$
(γ)     $\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)\ ,\ x>0$
(δ)    η $\Gamma$ είναι κυρτή.