Λύση

(α)    

$$\begin{eqnarray*} x \int ^\infty _1 \frac{[t]}{t^{x+1}} dt &=& x\sum ^\infty _{n... ...igr) \\ &=& \sum ^\infty _{n=1} \frac{1}{n^x} \\ &=& \zeta (x) \end{eqnarray*}$$

Όμως η $\sum_1^\infty \frac1{n^x}$ είναι γνωστό οτι συγκλίνει για $x>1$.

(β)     

$$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x-1} -x\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^{x+1}}\,dt &=& \f... ...1} -x \left( 0-\frac1{-x+1} \right) +\zeta (x)\\ &=& \zeta (x) \end{eqnarray*}$$

Αυτό το ολοκλήρωμα συγκλίνει για κάθε $x>0$ αφού $\bigm\vert t-[t]\bigm\vert \leq 1 \ \forall t\in\mathbb R$ οπότε

$$\int_1^\infty \Bigm\vert \frac{t-[t]}{t^{x+1}} \Bigm\vert\,dt\leq\infty_1^\infty \frac1{t^{x+1}}\,dt$$

το οποίο συγκλίνει αφού $x+1>1$.

Άσκηση 6 Υπόδειξη