Άσκηση 6

Για $1<x<+\infty$ ορίζουμε $\zeta(x)=\sum^\infty_{k=1} \frac{1}{k^x}$. Αποδείξτε οτι (α)     $\zeta(x)=x \int ^{+\infty}_1 \frac{[t]}{t^{x+1}}dt$
(β)      $\zeta(x)=\frac{x}{x-1}-x \int ^{+\infty}_1 \frac{t-[t]}{t^{x+1}}dt$. Αποδείξτε οτι το πρώτο ολοκλήρωμα συγκλίνει για $x>1$ ενώ το δεύτερο συγκλίνει για $x>0$.

Υπόδειξη Λύση