next up previous
Next: Άσκηση 6 Up: Άσκηση 5 Previous: Υπόδειξη


Λύση

$\Gamma (x) = \int ^\infty _0 t^{x-1} e ^{-t} dt$ άρα $\Gamma \Bigl( \frac{1}{2} \Bigr) = \int ^\infty _0 t^{-\frac{1}{2}} e^{-t} dt$ Θέτω $t=x^2$ $dt=2xdx$

\begin{eqnarray*}
\Gamma \Bigl(\frac{1}{2} \Bigr)& =&
\int ^\infty _0 x^{-1} e^{...
...t ^\infty _0 e^{-x^2}dx \\
&=& 2\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi}
\end{eqnarray*}



Άρα

\begin{eqnarray*}
\Gamma \Bigl(n+\frac{1}{2}\Bigr) &=&
\Bigl(n-\frac{1}{2}\Bigr)...
...frac{1}{2^n}\sqrt{\pi} \\
&=& (2n)! \frac{\sqrt{\pi}}{4^n {n!}}
\end{eqnarray*}



Άσκηση 5 Υπόδειξη



root
1999-07-29