Λύση

$\Gamma (x) = \int ^\infty _0 t^{x-1} e ^{-t} dt$ άρα $\Gamma \Bigl( \frac{1}{2} \Bigr) = \int ^\infty _0 t^{-\frac{1}{2}} e^{-t} dt$ Θέτω $t=x^2$ $dt=2xdx$

$$\begin{eqnarray*} \Gamma \Bigl(\frac{1}{2} \Bigr)& =& \int ^\infty _0 x^{-1} e^{... ...t ^\infty _0 e^{-x^2}dx \\ &=& 2\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$$

Άρα

$$\begin{eqnarray*} \Gamma \Bigl(n+\frac{1}{2}\Bigr) &=& \Bigl(n-\frac{1}{2}\Bigr)... ...frac{1}{2^n}\sqrt{\pi} \\ &=& (2n)! \frac{\sqrt{\pi}}{4^n {n!}} \end{eqnarray*}$$

Άσκηση 5 Υπόδειξη