Λύση

(α)

$$\int_2^\infty x^p \left(\log x\right)^q \,dx =\int_2^\infty \... ...(\frac{x^{p+1}}{p+1}\right)^\prime \left(\log x\right)^q \,dx=$$

$$=\lim_{x\rightarrow\infty} \left( \frac{x^{p+1}}{p+1} \left(\... ...ty \frac1{p+1} x^{p+1} q\left(\log x\right)^{q-1} \frac1{x}\,dx$$

$$=\hbox{σταθερά}-\frac{q}{p+1}\int_2^\infty x^p \left(\log x\right)^{q-1} \,dx.$$

Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο κατεβάζουμε συνεχώς τον εκθέτη του λογαρίθμου. Αν κάνουμε $[q]+1$ τέτοια βήματα (όταν $q>0$) τότε προκύπτει οτι το $\int_2^\infty x^p \left(\log x\right)^q \,dx$ συγκλίνει αν και μόνο αν το $\int_2^\infty x^p \left(\log x\right)^r \,dx$ συγκλίνει με $r\leq 0$. Όμως $x\geq 2$ άρα $\log x\geq \log 2$ οπότε $(\log x)^r \leq (\log 2)^r$ (αφού $r\leq 0$). Έτσι παίρνουμε $\int_2^\infty \bigm\vert x^p (\log x)^r \bigm\vert\,dx \leq \int_2^\infty x^p \,dx$ το οποίο συγκλινει για $p <-1$.

(β) Αν $p = -1, q< -1$ έχω το $\int_2^\infty \frac1{x(\log x)^{\vert q\vert} } \,dx$. Θέτω $x=e^t, \ dx=e^t dt$ και το ολοκλήρωμα γίνετε

$$\int_{\log 2}^\infty \frac1{e^t t^{\vert q\vert}} e^t \,dt=\int_{\log 2}^\infty \frac1{t^{\vert q\vert}} \,dt .$$

το οποίο συγκλίνει αν και μόνο αν $\vert q\vert>1$ δηλαδή $q<-1$.

Άσκηση 2 Υπόδειξη