Άσκηση 9

Έστω οτι $f(x)=\biggl ( \int^x_0 e^{-t^2}dt \biggr) ^2 \ ,\ g(x)=\int ^1_0 \frac{e^{-x^2 (t^2+1)}}{t^2+1}dt$. (α)    Δείξτε οτι $f^\prime (x)+g^\prime (x)=0$ για κάθε $x$ και ότι $f(x)+g(x)=\frac{\pi}{4}$ για κάθε $x$. (Υπόδειξη: Πόσο είναι το $g(0)$?)
(β)     Χρησιμοποιώντας το (α) δείξτε οτι $\int^{+\infty}_0 e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Υπόδειξη Λύση