Λύση

(α)     $f^\prime (x)=s\left(\int_0^x e^{-t^2} \,dt\right) e^{-x^2}$ και

$$g^prime (x)= \int_0^1 e^{-x^2 (t^2+1)}\,dt=-x\left( \int_0^1 e^{x^2 t^2} \,dt\right) e^{-x^2},$$

άρα αν κάνω αλλαγή μεταβλητής θετοντας $y=xt$ η $g^\prime (x)=-f^\prime (x)$ άρα $f^\prime (x)+g^\prime (x)=0$.

Επίσης $f(x)+g(x)=\int f^\prime (x)+g^\prime (x)\,dx =\int 0\,dx =c$. Για να βρούμε τη σταθερά θέτουμε $x=0$ και παίρνουμε $c=f(0)+g(0)$. Όμως $f(0)=0$ και

$$g(0) =\int_0^1 \frac1{t^2+1} \,dt=\arctan t\bigm\vert _0^1 =\frac{\pi}{4} .$$

(β)    Άρα $f(x)+g(x)=\frac{\pi}{4}$. Στην τελευταία σχέση του προηγούμενου αφήνουμε το $x$ να πάει στο άπειρο. Όμως,

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty} g(x) &=& \lim_{x\rightarrow\infty} \... ...ft( \int_0^1 \frac1{t^2+1}\,dt \right) e^{-x^2} \right)\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

Άρα $\frac{\pi}4 =\lim_{x\rightarrow \infty} \left( f(x)+g(x)\right) =\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)= \left(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx \right)^2$.

Έπεται οτι $\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Άσκηση 9 Υπόδειξη