Λύση

Έστω $x$ σημείο συσσώρευσης του $A$ και έστω $\varepsilon >0$. Ξέρουμε οτι $(N_x(\varepsilon )\setminus \{ x \} ) \cap A \neq \emptyset$. Ας υποθέσουμε οτι έχει πεπερασμένα το πλήθος στοιχεία, τα $x_1, \ldots , x_m$. Είναι $x \neq x_i \Rightarrow \vert x-x_i\vert>0\ ,\ i=1, \ldots ,m$. Θέτουμε $\varepsilon ^\prime =min \{\vert x-x_1\vert, \ldots , \vert x-x_m\vert \} >0$. Τότε, $\varepsilon ^\prime < \varepsilon$ και $x_1, \ldots , x_m \notin N_x (\varepsilon ^\prime )$. Δηλαδή, $(N_x (\varepsilon ^\prime ) \setminus \{ x\} ) \cap A= \emptyset$. Άτοπο, γιατί το $x$ είναι σημείο συσσώρευσης του $A$.

Δηλαδή, $\forall\ \varepsilon >0$ είναι $(N_x (\varepsilon ) \setminus \{ x\} ) \cap A= \hbox{άπειρο} \Rightarrow N_x(\varepsilon ) \cap A = \hbox{άπειρο}$. Το αντίστροφο είναι προφανές: αν κάθε περιοχή του $x$ περιέχει άπειρα σημεία του $A$, τότε περιέχει και κάποιο διαφορετικό από το $x$. Δηλαδή για κάθε $\varepsilon >0$ είναι $(N_x(\varepsilon )\setminus \{ x \} ) \cap A \neq \emptyset$. Αρα το $x$ είναι σημείο συσσώρευσης του $A$.

Άσκηση 5 Υπόδειξη