Λύση

Έστω οτι η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb R$. Ξέρουμε οτι η αντίστροφη εικόνα ανοικτού συνόλου είναι ανοικτό σύνολο, άρα το $f^{-1} (\ring{A} )$ είναι ανοικτό. Αφού $\ring{A} \subseteq A$ έχουμε $f^{-1}(\ring{A} )\subseteq f^{-1} (A)$ και αφού το $(f^{-1} (\ring{A}))$ είναι το μεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο $f^{-1}(A)$, έπεται στο $f^{-1} (\ring{A}) \subseteq (f^{-1} (\ring{A}))$. Αντίστροφα, αν η $f^{-1} (\ring{A}) \subseteq (f^{-1} (\ring{A}))$ ισχύει για κάθε $A \subseteq \mathbb R$ ανοικτό παίρνει τη μορφή $f^{-1}(A) \subseteq (f^{-1}(\ring{A}))$ που σημαίνει οτι $f^{-1}(A)=(f^{-1}(\ring{A}))$ (γιατί ?). Αυτό πάλι σημαίνει οτι αντίστροφη εικόνα ανοικτού είναι ανοικτό, οπότε έχουμε δει οτι η $f$ είναι συνεχής. Έστω παλι οτι η $f$ είναι συνεχής και $x \in \overline{A}$ κάποιου $A \subseteq \mathbb R$. Υπάρχουν $x_n \in A$ με $x_n \rightarrow x \Rightarrow f(x_n) \rightarrow f(x)$ και $f(x_n) \in f(A)$, άρα $f(x) \in \overline{f(A)}$. Δηλαδή, $f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$. Αντίστροφα, έστω οτι ισχύει η $f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}$ για κάθε $A \subseteq \mathbb R$. Θεωρούμε $k \subseteq \mathbb R$ κλειστό και γράφουμε $A=f^{-1}(k)$. Τότε,

$$f(\overline{f^{-1}(k)}) \subseteq \overline{f(f^{-1}(k))} = \overline{k} = k$$

άρα $\overline{f^{-1}(k)} \subseteq f^{-1}(k)$. Αυτό σημαίνει οτι $f^{-1}(k)=$ κλειστό. Αφού αντιστροφη εικόνα κλειστού είναι κλειστό, η $f$ είναι συνεχής.

Άσκηση 10 Υπόδειξη