Λύση

Έστω $p(t)$ το ελάχιστο πολυώνυμο του $M$. Τότε $p(M)=\left(\begin{array}{cc} p(A) & 0\\ 0 & p(B)\end{array}\right)=0$ και άρα $p(A)=0=p(B)$. Αν $g(t)$ είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του $Α$ τότε το $g(t)$ διαιρεί το $p(t)$. Όμοια, αν $h(t)$ είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του $B$ τότε το $h(t)$ διαιρεί το $p(t)$. Άρα το $p(t)$ είναι πολλαπλάσιο των $g(t)$ και $h(t)$.

Έστω τώρα $f(t)$ ένα άλλο πολλαπλάσιο των $g(t)$ και $h(t)$. Τότε $f(M)=\left(\begin{array}{cc} f(A) & 0\\ 0 & f(B) \end{array}\right)=0$ (αφού $g(A)=0=h(B)$). Εφόσον το $p(t)$ είναι το ελάχιστο πολυώνυμο έχουμε ότι το $p(t)$ διαιρεί το $f(t)$. Άρα το $p(t)$ είναι το έλάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των $g(t)$ και $h(t)$.