Λύση

Εύκολα βλέπει κανείς ότι τα στοιχεία $(3,1)$ και $(1,1)$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα άρα αποτελούν βάση του $\mathbb R^2$. Άρα από Θεώρημα 18 η $T$ υπάρχει και είναι μοναδική.

Αν τώρα $(a,b)$ είναι ένα τυχαίο στοιχείο του $\mathbb R^2$ τότε το $(a,b)$ γράφεται σαν γραμμικώς συνδυασμός των στοιχείων $(3,1)$ και $(1,1)$. Δηλαδή, υπάρχουν $x,y\in\mathbb R$ ώστε $(a,b)=x(3,1)+y(1,1)$. Άρα $a=3x+y$ και $b=x+y$ από τις οποίες έχουμε $x=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b$ και $y=-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}b$. Τελικά, $T(a,b)=xT(3,1)+yT(1,1)=x(2,-4)+y(0,2)=(2x,-4x+2y)=(a-b,5b-3a).$ Απο τον παραπάνω τύπο έχω $T(7,4)=(3,-1)$.