Λύση

Eφόσον το $K$ μπορεί να θεωρηθεί διανυσματικός χώρος πάνω στον εαυτό του έχουμε ότι dim$K=1$. Θα δείξουμε ότι dim ${\cal L}(V,V)=1$. Πράγματι, αφού dim$V=1$, υπάρχει $v\in V$ ώστε το $v$ να παράγει τον $V$. Tότε, αν $F$ είναι μια μη-μηδενική γραμμική απεικόνιση τότε κάθε άλλη γραμμική απεικόνιση γράφεται σαν πολλαπλάσιο της $F$. Πράγματι, αν $S\in{\cal L}(V,V)$, τότε το $S(w)\in V$ για κάθε $w\in V$ και επειδή $F$ γραμμική και $v$ βάση του $V$, υπάρχει $k\in K$ ώστε $S(w)=kF(v)$. Άρα dim ${\cal L}(V,V)=1$ και το αποτέλεσμα προκύπτει από το Πόρισμα 5.