Λύση

Έστω $A_1,A_2,B\in V$. Τότε,

$$(A_1+A_2,B)=tr(B^t(A_1+A_2))= tr(B^tA_1+B^tA_2)=$$

$$tr(B^tA_1)+tr(B^tA_2)=(A_1,B)+(A_2,B).$$

Αν $k\in\mathbb R$ τότε

$$(kΑ,Β)=tr(B^t(kA))=tr(k(B^tA))=ktr(B^tA)=k(A,B).$$

Επίσης,

$$(A,B)=tr(B^tA)=tr((B^tA)^t)=tr(A^tB^tt)=tr(A^tB)=(B,A).$$

Τέλος, αν $A=(a_{ij})$ και $A^t=(b_{ij})$ με $b_{ij}=a_{ji}$ έστω $A^tA=(c_{ij})$. Τότε

$$c_{ii}=\sum_{j=1}^nb_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^na^2_{ji}$$

και άρα

$$tr(A^tA)=\sum_{i=1}^mc_{ii}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na^2_{ji} =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na^2_{ij}>0.$$