next up previous
Next: Άσκηση 59 Up: Άσκηση 58 Previous: Υπόδειξη

Λύση

Έστω $A_1,A_2,B\in V$. Τότε,

\begin{displaymath}(A_1+A_2,B)=tr(B^t(A_1+A_2))=
tr(B^tA_1+B^tA_2)=\end{displaymath}


\begin{displaymath}tr(B^tA_1)+tr(B^tA_2)=(A_1,B)+(A_2,B).\end{displaymath}

Αν $k\in\mathbb R$ τότε

\begin{displaymath}(kΑ,Β)=tr(B^t(kA))=tr(k(B^tA))=ktr(B^tA)=k(A,B).\end{displaymath}

Επίσης,

\begin{displaymath}(A,B)=tr(B^tA)=tr((B^tA)^t)=tr(A^tB^tt)=tr(A^tB)=(B,A).\end{displaymath}

Τέλος, αν $A=(a_{ij})$ και $A^t=(b_{ij})$ με $b_{ij}=a_{ji}$ έστω $A^tA=(c_{ij})$. Τότε

\begin{displaymath}c_{ii}=\sum_{j=1}^nb_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^na^2_{ji}\end{displaymath}

και άρα

\begin{displaymath}tr(A^tA)=\sum_{i=1}^mc_{ii}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na^2_{ji}
=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na^2_{ij}>0.\end{displaymath}



Vassilis Metaftsis
1999-09-15