Λύση

Θέτουμε $w_1=(1,1,1,0,1)$. Tότε,

$$w_2=v_2-\frac{(v_2,w_1)}{(w_1,w_1)}w_1=(1,0,0,-1,1)-\frac{2}{... ...1,0,1)= (\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1,\frac{1}{2}).$$

Για να απαλαγούμε από τα κλάσματα αντικαθιστούμε το τελευταίο διάνυσμα με το διπλασιό του και έχουμε $w_2=(1,-1,-1,-2,1).$

$$w_3=v_3-\frac{(v_3,w_1)}{(w_1,w_1)}w_1-\frac{(v_3,w_2)}{(w_2,w_2)}w_2=$$

$$(3,1,1,-2,3)-\frac{8}{4}(1,1,1,0,1)-\frac{8}{8}(1,-1,-1,-2,1)=$$

$$(0,0,0,0,0).$$

To τελευταίο δείχνει ότι το $v_3$ είναι γραμμικώς συνδυασμός των $v_1,v_2$ και άρα μπορούμε να το παραλήψουμε. Επομένως,

$$w_3=v_4-\frac{(v_4,w_1)}{(w_1,w_1)}w_1-\frac{(v_4,w_2)}{(w_2,w_2)}w_2=$$

$$(0,2,1,1,-1)-\frac{2}{4}(1,1,1,0,1)-\frac{-6}{8}(1,-1,-1,-2,1)=$$

$$(\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{4},-\frac{1}{2},-\frac{3}{4}).$$

Προκειμένου να μην έχουμε κλάσματα, αντικαθιστούμε το διάνυσμα $w_3$ με το $w_3=(1,3,-1,-2,-3).$ Κανονικοποιώντας την βάση $\{w_1,w_2,w_3\}$ παίρνω

$$u_1=\frac{1}{2}(1,1,1,0,1)$$

$$u_2=\frac{1}{2\sqrt{2}}(1,-1,-1,-2,1)$$

$$u_3=\frac{1}{2\sqrt{6}}(1,3,-1,-2,-3)$$