Λύση

Εφόσον τα $a_i,b_i$ είναι στοιχεία του σώματος (δηλαδή αριθμοί) έχω

$$a_1b_1+\ldots +a_nb_n=b_1a_1+\ldots +b_na_n$$

και άρα η πρώτη ιδιότητα ισχύει. Αν τώρα $c=(c_1,\ldots ,c_n)$ τότε

$$b+c=(b_1+c_1, \ldots ,b_n+c_n)$$

και

$$a\cdot (b+c)=a_1(b_1+c_1)+ \ldots +a_n(b_n+c_n)=a_1b_1+a_1c_1+\ldots +a_nb_n+a_nc_n=$$

$$a_1b_1+\ldots +a_nb_n+a_1c_1+\ldots +a_nc_n=a\cdot b+a\cdot c.$$

Tέλος, αν $x\in K$ τότε

$$(xa)\cdot b=xa_1b_1+\ldots +xa_nb_n= x(a_1b_1+\ldots +a_nb_n)=x(a\cdot b).$$