Λύση

Γνωρίζουμε ότι το $U\cap W$ είναι υπόχωρος τόσο του $U$ όσο και του $W$. Υποθέτω ότι dim$U=m$, dim$W=n$ και dim$(U\cap W)=r$. Θεωρώ $\{v_1,\ldots ,v_r\}$ μια βάση του $U\cap W$. Τότε μπορούμε να επεκτείνουμε την παραπάνω βάση σε μια βάση του $U$,

$$\{v_1,\ldots ,v_r,u_1,\ldots ,u_{m-r}\}$$

και σε μια βάση του $W$,

$$\{v_1,\ldots ,v_r, w_1, \ldots ,w_{n-r}\}.$$

Έστω

$${\cal B}=\{v_1,\ldots ,v_r,u_1,\ldots ,u_{m-r},w_1,\ldots ,w_{n-r}\}.$$

To ${\cal B}$ αποτελείται από $m+n-r$ στοιχεία. Θα δείξουμε ότι το ${\cal B}$ είναι βάση του $U+W$. Eφόσον το $\{v_1,\ldots ,v_r,u_1,\ldots ,u_{m-r}\}$ παράγει το $U$ και το $\{v_1,\ldots ,v_r, w_1, \ldots ,w_{n-r}\}$ παράγει το $W$, έχουμε ότι το ${\cal B}$ παράγει το $U+W$. Aρκεί να δείξουμε ότι τα στοιχεία του ${\cal B}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Υποθέτω ότι υπάρχουν $a_i,b_j,c_k$ στοιχεία του σώματος $K$ ώστε

$$a_1v_1+\ldots +a_rv_r+b_1u_1+\ldots +b_{m-r}u_{m-r}+c_1w_1+\ldots +c_{n-r}w_{n-r}={\bf0}.$$

Έστω

$$v=a_1v_1+\ldots +a_rv_r+b_1u_1+\ldots +b_{m-r}u_{m-r}.$$

Eφόσον τα $v_i,u_j$ ανήκουν στο $U$ έχουμε ότι το $v\in U$. Aπό την άλλη, τα $w_k$ ανήκουν στον $W$ και άρα $v\in W$. Συνεπώς, $v\in U\cap W$. Aλλά τα $v_i$ είναι βάση του $U\cap W$ άρα υπάρχουν πραγματικοί $d_1,\ldots ,d_r$ ώστε

$$v=d_1v_1+\ldots d_rv_r.$$

Aπό την παραπάνω σχέση για το $v$ έχουμε ότι

$$d_1v_1+\ldots +d_rv_r+c_1w_1+\ldots +c_{n-r}w_{n-r}=0.$$

Όμως τα στοιχεία $v_i,w_k$ αποτελούν βάση του $W$ και άρα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα επομένως

$$d_1=\ldots=d_r=c_1=\ldots=c_{n-r}=0.$$

Aντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση παίρνουμε

$$a_1v_1+\ldots +a_rv_r+b_1u_1+\ldots +b_{m-r}u_{m-r}=0.$$

Όμως, τα $v_i,u_j$ αποτελούν βάση του $U$ και άρα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα επομένως

$$a_1=\ldots=a_r=b_1=\ldots=b_{m-r}=0.$$

Άρα η αρχική εξίσωση συνεπάγεται ότι τα $a_i,b_j,c_k$ είναι όλα μηδέν και συνεπώς το ${\cal B}$ είναι βάση του $U+W$.