Άσκηση 22

Έστω $V$ διανυσματικός χώρος και $U,W$ υπόχωροι του $V$ ώστε $V=U+W$. Δείξτε ότι το άθροισμα είναι ευθύ αν και μόνο αν

$${\rm dim}(U+W)={\rm dim}U+{\rm dim}W.$$

Γενικεύστε για $V=V_1+\ldots +V_n$. Δείξτε δηλαδή ότι το παραπάνω άθροισμα είναι ευθύ αν και μόνο αν

$${\rm dim}(V_1+\ldots+V_n)={\rm dim}V_1+\ldots +{\rm dim}V_n.$$