Λύση

Από την προηγούμενη άσκηση έχουμε ότι

$${\rm dim}(U+W)={\rm dim}U+{\rm dim}W$$

αν και μόνο αν ${\rm dim}(U\cap W)=0$ δηλαδή αν και μόνο αν $W\cap U=0$.

Γενικότερα, αν το άθροισμα είναι ευθύ τότε με πολλαπλή εφαρμογή του συμπεράσματος για δύο υπόχωρους παίρνουμε

$${\rm dim}((V_1+\ldots+V_{n-1})+V_n)={\rm dim}(V_1+\ldots +V_{n-1})+ {\rm dim}V_n=\ldots$$

$${\rm dim}V_1+\ldots +{\rm dim}V_n.$$

Αντίστροφα, θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή. Για $n=1$ δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε. Υποθέτω ότι ισχύει για $n-1$, δηλαδή αν

$${\rm dim}(V_1+\ldots+V_{n-1}) ={\rm dim}V_1\ldots +{\rm dim}V_{n-1}$$

τότε το άθροισμα είναι ευθύ. Υποθέτω ότι $V=V_1+\ldots +V_n$ με

$${\rm dim}V_1+\ldots+{\rm dim}V_n= {\rm dim}(V_1 +\ldots + V_n).$$

Tότε από το αποτέλεσμα του πρώτου μέρους της άσκησης,

$${\rm dim}((V_1+\ldots+V_{n-1})\cap V_n)=0.$$

To αποτέλεσμα προκύπτει από την υπόθεση της επαγωγής.