Ορισμός: Η διαφορική εξίσωση

, (1)

όπου , και είναι συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σ’ ένα διάστημα , ονομάζεται διαφορική εξίσωση Riccati.

* Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης (1) μελετήθηκαν από τον Ιταλό μαθηματικό Jacopo Francesco Ricatti (1676-1754).

Εκτός από ειδικές περιπτώσεις, η επίλυση των εξισώσεων αυτών δεν μπορεί να επιτευχθεί με τετραγωνισμό (δηλ. με πεπερασμένο πλήθος ολοκληρώσεων). Αν όμως γνωρίζουμε μια ειδική λύση της (1) τότε ο μετασχηματισμός

, (2)

, (3)

* Ο μετασχηματισμός (2) οφείλεται στον Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler που τον εισήγαγε το 1760.

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]

Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις:

1. [Λύση] , [Υπόδειξη]

2. [Λύση] , [Υπόδειξη]

3. Έστω ότι , είναι δύο μερικές λύσεις της εξίσωσης Riccati (1)

    Να δειχθεί ότι κάθε άλλη λύση δίνεται από τη σχέση

,

όπου είναι μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. [Λύση] , [Υπόδειξη]

4. Αν , και είναι τρείς μερικές λύσεις της εξίσωσης Riccati να δειχθεί ότι κάθε άλλη λύση δίνεται από τη σχέση

,

όπου είναι μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. [Λύση] , [Υπόδειξη]

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]