b = c. (Aριστερός
νόμος
διαγραφής ή
απλοποίησης).6. Ομάδες
Μια ομάδα
< G, * > είναι ένα σύνολο G εφοδιασμένο με μια πράξη * η οποία ικανοποιεί τα τρία αξιώματα :(ι) η * είναι προσεταιριστική
(ιι) η * έχει ταυτοτικό στοιχείο e
(ιιι) κάθε μέλος a του S έχει αντίστροφο στοιχείο a΄ στο S.
Μια ομάδα λέγεται αβελιανή αν η πράξη της είναι αντιμεταθετική.
Στοιχειώδη παραδείγματα.
H ομάδα του Klein V = { 1, α, β, γ }.
Θεώρημα 6.1
. Σε ομάδα < G, * >, ισχύουν :(1) a * b = a * c
b = c. (Aριστερός
νόμος
διαγραφής ή
απλοποίησης).
(2) b * a = c * a 
b = c. (Δεξιός
νόμος
διαγραφής ή
απλοποίησης).
Θεώρημα 6.2. Σε ομάδα < G, * >, οι γραμμικές εξισώσεις a * x = b και x * a = b έχουν μοναδικές λύσεις.
Ασκήσεις
6.1. Στο R+ η * ορίζεται μέσω της x * y = 5xy. Δείξτε ότι το < R+, * > αποτελεί ομάδα.
Βρείτε ολες τις λύσεις των:
(1) 4 * x = 100
(2) 4 * x * 1 = 100
και
(3) x
* 5 * x = 5006.2. Δείξτε ότι στο R – {1} ορίζεται μια πράξη μέσω της x * y = xy – x – y + 2. Στη συνέχεια δείξτε ότι η < R – {1}, * > αποτελεί αβελιανή ομάδα. Λύστε την εξίσωση 4 * 5 * x = 13.
6.3. Εστω * προσεταιριστική πράξη σε σύνολο G . Εστω επίσης ότι (1) το G περιέχει αριστερό ταυτοτικό στοιχείο, δηλ. ένα στοιχείο e που ικανοποιεί e * x = x για όλα τα μέλη x του G, και (2) κάθε a του G έχει αριστερό αντίστροφο στο G, δηλ.υπάρχει a΄ στο G με a΄ * a = e.
Δείξτε ότι
(3) a * b = a * c 
b = c.
(4) a * e = a, " a
G.
(5) a * a΄ =
e, " a 
G.
και
(6) To < G, * > αποτελεί ομάδα.
6.4. Διατυπώστε το αντίστοιχο αποτέλεσμα για τα δεξιά στοιχεία.
6.5. Στο R*
η πράξη *
ορίζεται
μέσω της a * b = a
. Να
προσδιορίσετε
αν η πράξη
είναι
αντιμεταθετική
ή
προσεταιριστική,
αν έχει αριστερό
ή δεξιό ταυτοτικό
στοιχείο και
αν κάθε
στοιχείο a έχει
αριστερό ή δεξιό
αντίστροφο.
Είναι η < R*, * >
ομάδα ;
6.6. Βρείτε όλες τις λυσεις τις x * x = x σε ομάδα < G, * >.
6.7. Δείξτε ότι (a * b)΄ = b΄ * a΄ για όλα τα μέλη a, b ομάδας < G, * >.
6.8. Αν για όλα τα μέλη a, b ομάδας < G, * > ισχύει (a * b)΄ = a΄ * b΄, δείξτε ότι η G είναι αβελιανή.
Επιστροφή στα περιεχόμενα