Σύγχρονα Μαθηματικά στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Θα παρουσιάσουμε διάφορα σύγχρονα μαθηματικά που μια πρόσφατη προσεκτική μελέτη όλης της έκτασης των Στοιχείων του Ευκλείδη μας αποκάλυψε. Κάποια από αυτά είχαν επισημανθεί εδώ και καιρό από τους Ιστορικούς των Μαθηματικών και των μελετητών των Στοιχείων, αλλά κάποια φαίνεται να έχουν διαφύγει της προσοχής, και ως εκ τούτου είναι για εμάς «νέα».

Ένα παράδειγμα από την κβαντική θεωρία πληροφορίας. Η κβαντική θεωρία πληροφορίας είναι ένα ταχύτατα αναπτυσσόμενο επιστημονικό πεδίο όπου συναντώνται τα Μαθηματικά, η Φυσική, η Πληροφορική και οι επιστήμες του μηχανικού. Θα παρουσιάσουμε ένα ή δύο παραδείγματα από την θεωρία αυτή, από την μαθηματική σκοπιά. Θα συζητήσουμε για χρωματισμό γραφημάτων και κβαντικούς χρωματικούς αριθμούς.

Αναζητώντας το σχήμα των δεδομένων.
Mια πρώτη γνωριμία με την τοπολογική ανάλυση δεδομένων Θα δούμε πώς εφαρμόζονται οι τοπολογικές ιδέες σε σύνολα δεδομένων ώστε να ποσοτικοποιηθεί το σχήμα και η δομή τους. Ιδιαίτερα θα δούμε τα δυο βασικά εργαλεία της τοπολογικής ανάλυσης δεδομένων, αυτό της εμμένουσας ομολογίας και της μεθόδου απεικόνισης mapper.

Η κατασκευή του συνόλου των φυσικών αριθμώνΗ κατασκευή που θα παρουσιάσουμε δεν θα είναι αξιωματική (μέσω των αξιωμάτων Peano) αλλά συνολοθεωρητική με χρήση του ορισμού κατά τον Von Neumann.

Τα απειροστάΘα δώσουμε μια σύντομη ανασκόπηση της πορείας της έννοιας των απειροστών στα σύγχρονα μαθηματικά, από τον Cauchy και μετά.

Leonhard Euler: Η Εκθετική και η Λογαριθμική Συνάρτηση.Θα αναφερθούμε στον τρόπο με τον ποιον ο Euler μελετά την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση, αναπτύσσοντάς τις σε δυναμοσειρά. Ο Euler εισάγει εδώ για πρώτη φορά τον συμβολισμό και τις μεθόδους που συναντάμε μέχρι και σήμερα σε όλα τα βιβλία του απειροστικού λογισμού.

Το Θεώρημα Ισομορφισμού του CantorΚάθε δύο αριθμήσιμες γραμμικές πυκνές διατάξεις χωρίς άκρα είναι μεταξύ τους ισομορφικές. Θα παρουσιάσουμε την απόδειξη του θεωρήματος, καθώς και κάποια ενδιαφέροντα πορίσματά του.