ΟΡΙΣΜΟΙ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ
ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ
Ορισμός 1.
Μια
διαφορική εξίσωση της μορφής
, (1)
όπου οι
![](Image1313.gif)
και
είναι δοθείσες πραγματικές
συναρτήσεις ορισμένες σ’ένα ανοικτό
διάστημα
, ονομάζεται
γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n.
Ορισμός 2.
Αν
στο διάστημα
τότε η (1) θα λέγεται ομογενής
ενώ στην αντίθετη περίπτωση
μη-ομογενής. Γενικά,
η συνάρτηση
ονομάζεται
μη- ομογενής όρος ή όρος
εξαναγκασμού.
Ορισμός 3.
Ένα σημείο
θα
λέγεται ομαλό ή συνηθισμένο
σημείο της (1) αν
ενώ αν
θα λέγεται ανώμαλο ή
ιδιάζον σημείο.
Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι όλα τα σημεία
του διαστήματος
είναι ομαλά σημεία της (1).
Διαιρώντας έτσι με το συντελεστή
,
η (1) γράφεται στη μορφή
, (2)
όπου
και
.
Για τις διαφορικές εξισώσεις της μορφής (2)
ισχύει το ακόλουθο θεμελιώδες θεώρημα:
Θεώρημα 1.
(Ύπαρξη
και μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος
αρχικών τιμών)
Έστω σημείο
και
τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί
.
Αν οι συναρτήσεις
και
είναι συνεχείς στο
,
τότε υπάρχει ακριβώς μια
λύση της εξίσωσης (2) η οποία ικανοποιεί τις
αρχικές συνθήκες
. (3)
Ορισμός 4. (Έννοια
της μιγαδικής λύσης)
Έστω
![](Image1331.gif)
και
πραγματικές συναρτήσεις
ορισμένες σ’ ένα διάστημα
.
Μια μιγαδική συνάρτηση
(όπου
,
είναι
πραγματικές συναρτήσεις και
)
θα λέγεται ότι είναι λύση
της εξίσωσης (2) αν και μόνον αν η
είναι
λύση της (2) και η
είναι
λύση της αντίστοιχης ομογενούς.
[Επιστροφή
στα Περιεχόμενα]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
:
1. Προσδιορίστε όλες τις λύσεις
του προβλήματος αρχικών τιμών
,
,
,
.
[Υπόδειξη]
, [Λύση]
2. Το πρόβλημα
αρχικών τιμών
,
,
έχει ως λύσεις
τις συναρτήσεις
και
.
Γιατί αυτό δεν έρχεται σε
αντίθεση με το Θεώρημα 1 ;
[Λύση]
3. Δείξτε ότι το πρόβλημα
αρχικών τιμών
,
,
,
δεν έχει λύση.
[Υπόδειξη]
, [Λύση]
[
Επιστροφή
στα Περιεχόμενα]