ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER

 

Ορισμός 1. Κάθε γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής

, (1)

όπου ονομάζεται διαφορική εξίσωση Euler τάξης .

Παρατήρηση: Γράφοντας την (1) στην κανονική μορφή

,

βλέπουμε ότι οι συντελεστές της είναι συνεχείς συναρτήσεις σε όλο το ενώ το είναι το μοναδικό ανώμαλο σημείο της εξίσωσης.

Μέθοδος επίλυσης: Έστω ότι . Εισάγουμε μια νέα ανεξάρτητη μεταβλητή μέσω του μετασχηματισμού

, (2)

ή, ισοδύναμα, του

.

Θέτοντας τώρα

, (3)

και ορίζοντας τον διαφορικό τελεστή

, (4)

παίρνουμε εύκολα (με εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας) ότι

,

,

και γενικά

, ,

ή, ισοδύναμα,

, . (5)

Έτσι, μέσω της (2) η (1) μετασχηματίζεται στην ακόλουθη γραμμική διαφορική εξίσωση

 , (6)

η οποία όμως έχει σταθερούς συντελεστές και μπορεί να επιλυθεί με την μέθοδο της παραγράφου 1, Κεφ. 5. Έτσι αν είναι η γενική λύση της (6) τότε η γενική λύση της (1) δίνεται από την σχέση

. (7)

Ας σημειωθεί εδώ ότι η χαρακτηριστική εξίσωση της (6) έχει την μορφή

. (8)

Τέλος, αν τότε εκτελούμε τον μετασχηματισμό

,

και ακολουθώντας τα ίδια βήματα όπως παραπάνω καταλήγουμε και πάλι στην εξίσωση (6) με

.

 

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]

 

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

Να βρεθεί η γενική λύση των διαφορικών εξισώσεων:

1. , . [Λύση]

 

2. , . [Λύση]

 

3. , . [Λύση]

 

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]