Ενας δακτύλιος < S, +, . > είναι ένα σύνολο S εφοδιασμένο με δύο πράξεις +, . οι οποίες ικανοποιούν τα εξής τρία αξιώματα:

(1) Το < S, + > αποτελεί αβελιανή ομάδα.

(2) Ο πολλαπλασιασμός . είναι προσεταιριστικός.

(3) Για όλα τα στοιχεία a, b, c του S, έχουμε

a . (b + c) = (a . b) + ( a . c) (αριστερός επιμεριστικός νόμος) και

(b + c) . a = (b . a) + (c . a) (δεξιός επιμεριστικός νόμος).

Παραδείγματα: < C, +, . >, < R, +, . >, < Q, +, . >, < Z, +, . >, < nZ, +, . >,< Z_n, +, . >.

Eνας δακτύλιος < S, +, . > λέγεται αντιμεταθετικός αν η πράξη . είναι αντιμεταθετική.

Το γνωστό διωνυμικό ανάπτυγμα για το (a + b)ⁿ ισχύει σε κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο.

Εστω < S, +, . > δακτύλιος. Αν το S έχει ταυτοτικό στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό, αυτό συμβολίζεται με 1 και λέγεται το μοναδιαίο στοιχείο του δακτυλίου. Βεβαίως, το ουδέτερο στοιχείο 0 ως προς + πάντοτε υπάρχει. Συνήθως το σύμβολο του πολλαπλασιασμού παραλείπεται: γράφουμε ab αντι a . b. Επίσης, υιοθετείται η σύμβαση ότι σε εκφράσεις που περιέχουν . και + ( ή - ), ο πολλαπλασιασμός εκτελείται πρώτα. Η σύμβαση αυτή μας επιτρέπει να παραλείπουμε κάποιες παρενθέσεις. Ετσι οι επιμεριστικοί νόμοι γράφονται:

a . (b + c) = a . b + a . c = ab + ac και (b + c) . a = b . a + c . a = ba + ca.

Θεώρημα 17.1. Για όλα τα στοιχεία a, b δακτυλίου < S, +, . >,

(1) a . 0 = 0 και 0 . a = 0

(2) a . (- b) = (- a) . b = - a . b

(3) (- a) . (- b) = a . b

(4) (a – b) . c = a.c – b.c

Aν ο S έχει μοναδιαίο στοιχείο, έχουμε επίσης,

(5) (- 1) . a = - a.

Eνας δακτύλιος < S, +, . > λέγεται σώμα αν το < S – { 0 }, . > αποτελεί αβελιανή ομάδα. Αυτό σημαίνει ιδιαίτερα: ab = 0 a = 0 ή b = 0.

Παραδείγματα σωμάτων: < C, +, . >, < R, +, . >, < Q, +, . >.

Ο δακτύλιος < Z_n, +, . > είναι σώμα ανν ο n είναι πρώτος.

Παράδειγμα 1: Για τυχαίο δακτύλιο S με μοναδιαίο στοιχείο 1 0, το σύνολο Μ_n(S) των n n πινάκων με στοιχεία μέλη του S σχηματίζουν ως προς τις συνήθεις πράξεις μη αντιμεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο.

Παράδειγμα 2: Για δεδομένο σύνολο Χ, έστω F(X) το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : X ® R. Στο F(X) ορίζονται οι πράξεις +, . ως εξής.

(f + g)(x) = f(x) + g(x), " x X

(f . g)(x) = f(x) . g(x), " x X.

Tότε το < F(X), +, . > είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο.

17.1. Δείξτε ότι ισχύει ισότητα a² – b² = (a + b)(a – b) για όλα τα μέλη a, b δακτυλίου S ανν ο S είναι αντιμεταθετικός.

Λύση

17.2. Στους δακτυλίους Ζ₆ ή Ζ₂₄ ισχύει η εξής συνεπαγωγή: ab = 0 a = 0 ή b = 0.

Λύση

17.3. Δείξτε ότι στον Ζ_n, όπου n ³ 2, η συνεπαγωγή της 17.2. ισχύει ανν ο n είναι

πρώτος.

Λύση

17.4. Δείξτε ότι σε σώμα < F, +, . > κάθε εξίσωση ax = b με a 0 έχει μοναδική λύση.

Λύση

17.5. Βρείτε όλες τις λύσεις τις 2x = 0 στους Ζ₆, Ζ₉ και Ζ₁₁.

Λύση

17.6. Βρείτε όλες τις λύσεις τις 2x = 3 στους Ζ₆, Ζ₉ και Ζ₁₁.

Λύση

17.7. Ενα συνολο S είναι εφοδιασμένο με πράξεις +, . τ.ω. (ι) το < S, + > είναι ομάδα, (ιι) ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικός και έχει ταυτοτικό στοιχείο 1 και (ιιι) ισχύουν οι επιμεριστικοί νόμοι. Δείξτε ότι το < S, +, . > είναι δακτύλιος.

Υπόδειξη

Λύση

17.8. Σε δακτύλιο S ισχύει x² = x για όλα τα μέλη x του S. Δείξτε ότι ο S είναι αντιμεταθετικός.

Λύση