ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ BERNOULLI

 

Ορισμός: Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών

, (1)

, (2)

όπου και συνεχείς συναρτήσεις σ’ ένα διάστημα , , και . Η διαφορική εξίσωση (1) ονομάζεται εξίσωση Bernoulli.

* H εξίσωση (1) μελετήθηκε αρχικά από τον Ελβετό μαθηματικό Jacob Bernoulli (1654-1705) το 1695.

Σημείωση: Αν ή 1 τότε η (1) είναι γραμμική ομογενής.

Μέθοδος επίλυσης: Εκτελούμε τον μετασχηματισμό

, (3)

ο οποίος μετατρέπει το πρόβλημα (1), (2), στο ακόλουθο γραμμικό

, (4)

, (5)

το οποίο μετά λύνουμε με την μέθοδο της παραγράφου (2.4). Έτσι, η λύση του αρχικού προβλήματος (1), (2), δίνεται με αντιστροφή της (3), δηλ.

. (6)

* Ο μετασχηματισμός (3) οφείλεται στον Γερμανό μαθηματικό Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ο οποίος τον εισήγαγε το 1696.

Παρατήρηση: Αν τότε ο μετασχηματισμός (3) δεν μπορεί, γενικά, να εφαρμοστεί εκτός από την περίπτωση που ο εκθέτης είναι ακέραιος. Ειδικώτερα, αν το είναι περιττός τότε θέτουμε και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό (3) για τη συνάρτηση αφού ενώ αν το είναι άρτιος , ο μετασχηματισμός (3) εφαρμόζεται άμεσα για την .

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]

 

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

1. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών και να προσδιοριστεί το μέγιστο διάστημα ορισμού της λύσης:

, [Λύση]

Να λυθούν οι εξισώσεις:

2. , [Λύση]

3. , [Υπόδειξη] , [Λύση]

4. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών και να προσδιοριστεί το μέγιστο διάστημα ορισμού της λύσης:

, [Λύση]

 

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]