Έστω ένα ανοικτό υποσύνολο του.

Ορισμός 1: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz ως προς , όταν υπάρχει σταθερά έτσι ώστε για κάθε , να ισχύει

. (*)

Σημείωση: Η κλάση των συναρτήσεων που ικανοποιούν τη συνθήκη (*) εισήχθη το 1876 από το Γερμανό μαθηματικό Rudolf Lipschitz (1832 – 1903) και η σταθερά ονομάζεται σταθερά του Lipschitz.

Πρόταση: Έστω ανοικτό και κυρτό υποσύνολο του και συνάρτηση συνεχής. Αν υπάρχει η στο και είναι φραγμένη, με φράγμα , τότε η ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz ως προς με σταθερά .

, (1)

, (2)

με . Έστω επίσης ορθογώνιο το οποίο είναι υποσύνολο του και έχει κέντρο το σημείο.

Θεώρημα 1. (Ύπαρξη λύσης -- (E. Picard - E. Lindelof) )

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz ως προς στο τότε υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση η οποία είναι λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (1), (2), ορισμένη σ’ ένα διάστημα , όπου και .

Σημείωση: Το εξαιρετικά σημαντικό αυτό θεώρημα αποδείχθηκε το 1890 από τον Γάλλο μαθηματικό Emile Picard (1856 – 1941) και παράλληλα, αλλά ανεξάρτητα, από τον Φιλανδό μαθηματικό Ernst Lindelof (1870 – 1946).

Θεώρημα 2. (Μοναδικότητα της λύσης)

Έστω ότι η συνάρτηση είναι συνεχής και ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz ως προς στο ανοικτό σύνολο με . Αν και είναι δύο λύσεις του προβλήματος αρχικών τιμών (1), (2), ορισμένες στα διαστήματα και αντίστοιχα, τότε

, . (3)

Θεώρημα 3. (Ύπαρξης, μοναδικότητας και μέγιστου διαστήματος ορισμού της λύσης)

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και ικανοποιεί μια συνθήκη Lipschitz ως προς στο , τότε υπάρχει μια ακριβώς λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (1), (2), η οποία ορίζεται σε ένα διάστημα τέτοιο ώστε κάθε άλλη λύση του προβλήματος να είναι απλώς ένας περιορισμός της σε κάποιο υποδιάστημα του . Αν επιπλέον το σύνολο είναι φραγμένο και είναι η απόσταση του σημείου του γραφήματος της από το σύνορο τότε ισχύει ότι

.

Θεώρημα 4. (Ύπαρξη λύσης -- (G. Peano) )

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο ορθογώνιο τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών (1), (2), έχει τουλάχιστον μια λύση ορισμένη στο διάστημα , όπου είναι όπως στο θεώρημα Picard – Lindelof.

Σημείωση: Το θεώρημα αυτό αποδείχθηκε το1886 από τον Ιταλό μαθηματικό Giuseppe Peano (1858 – 1932). Συγκρίνοντάς το με το θεώρημα Picard – Lindelof, παρατηρούμε ότι και μόνο η υπόθεση της συνέχειας της αρκεί για την ύπαρξη μιας τουλάχιστον λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών (1), (2). Απλά παραδείγματα όμως δείχνουν ότι αν η δεν ικανοποιεί επίσης μια συνθήκη Lipschitz ως προς τότε η λύση αυτή δεν είναι η μοναδική !

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα] 

Δείξτε ότι τα ακόλουθα προβλήματα αρχικών τιμών έχουν μοναδική λύση:

1. , . [Λύση]

2. , . [Λύση]

3. , . [Λύση]

4. Πως εξηγείτε το γεγονός ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών:

, ,

δέχεται ως λύσεις τις διαφορετικές συναρτήσεις

και .

[Λύση]

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]