index08

8. Κυκλικές ομάδες

Δυνάμεις στοιχείων ομάδας . Προσθετικός συμβολισμός. Ιδιότητες : (1) xⁿ x^m = x^n+m, (2) (xⁿ)^m = x^nm, " n, m Z.

Θεώρημα 8.1. Για κάθε στoιχείο a ομάδας G, το σύνολο <a> όλων των δυνάμεων του a αποτελεί αβελιανή υποομάδα της G.

σημαίνει το πλήθος των μελών συνόλου Χ, το οποίο είναι ένας φυσικός αριθμός ή ¥ . Η τάξη ομάδας G είναι το πλήθος των στοιχείων της, δηλ. το . Η τάξη στοιχείου a ομάδας G είναι η τάξη της υποομάδας <a>. Μια ομάδα G λέγεται κυκλική αν G = <a> για κάποιο στοιχείο a, το οποίο a καλείται (ένας) γεννήτορας της G.

Θεώρημα 8.2. Κάθε υποομάδα κυκλικής ομάδας είναι κυκλική.

Θεώρημα 8.3. Τ.α.ε.ι. για μέλος a ομάδας G.

(1) Το a είναι πεπερασμένης τάξης.

(2) $ m N τ.ω. a^m= e.

Θεώρημα 8.4. Εστω a στοιχείο ομάδας πεπερασμένης τάξης.

(1) Το a είναι πεπερασμένης τάξης.

(2) <a> = { e, a, a², …, a^k-1 }, όπου k είναι ο πρώτος φυσικός αριθμός που ικανοποιεί a^k= e, και = k.

(3) Αν aⁿ= e, τότε ο τάξη του a διαιρεί τον n .

Aσκήσεις

8.1. Βρείτε την υποομάδα <2> της Ζ.