.
Μέση τιμή της Χ ονομάζεται
το άθροισμα:Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών
Έστω Χ διακριτή
τυχαία μεταβλητή που παίρνει
τις τιμές xi με
πιθανότητα pi, .
Μέση τιμή της Χ ονομάζεται
το άθροισμα:
,
εάν συγκλίνει, ειδάλλως η μέση τιμή δεν υπάρχει
.Για Χ συνεχή τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα f(x) η μέση τιμή δίνεται στη μορφή ολοκληρώματος:
,
εάν συγκλίνει, ειδάλλως η μέση τιμή δεν υπάρχει.
Έστω Υ=g(x) συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητή Χ. τότε :
, εάν
η Χ είναι διακριτή,
ή 
, εάν
η Χ είναι συνεχής.
Έστω Υ=g(Χ1, Χ2). Τότε αντίστοιχα έχουμε:
, στη
διακριτή περίπτωση
και 
, στη
συνεχή περίπτωση.
Ιδιότητες μέσης τιμής.
Ec=c εάν c σταθερά τιμή.
E(αΧ+b) = αΕΧ+b
E(Χ1+Χ2) = EΧ1+E Χ2
Εάν Χ
1 ανεξάρτητη της Χ2, τότε ΕΧ1Χ2= Ε Χ1· ΕΧ2.
Δεύτερη ροπή
m2 της τυχαίας μεταβλητής Χ ονομάζεται :m2=
, στη διακριτή περίπτωση
και m2=
, στη συνεχή περίπτωση,
εάν οι αντίστοιχες εκφράσεις συγκλίνουν.
Διασπορά DX της τυχαίας μεταβλητής Χ ονομάζεται:
στη διακριτή περίπτωση
και 
στη
συνεχή περίπτωση,
εάν οι αντίστοιχες εκφράσεις συγκλίνουν.
Ιδιότητες διασποράς
Dc = 0, εάν c σταθερή τιμή
D(αΧ+b) = α2DX
DX = m2- (EX)2
Εάν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες,
D(X+Y) = DX + DY.Η
ονομάζεται τυπική απόκλιση.
Ροπή κ τάξης ονομάζεται:
mκ= 
,
στη διακριτή περίπτωση
και m2=
, στη συνεχή περίπτωση.
Συνδιακύμανση των Χ1, Χ2 ονομάζεται :
στη
διακριτή περίπτωση
και 
στη
συνεχή περίπτωση.
Ιδιότητες συνδιακύμνασης
Cov(X,X) = DX
Εάν Χ
1,Χ2 ανεξάρτητες , cov(Χ1,Χ2) = 0Cov (α1Χ1+ b1, α2Χ2+ b2) = α1 α2cov(Χ1,Χ2)
D(x Χ1- Χ2) = x2DΧ1- 2xcov(Χ1,Χ2) + DΧ2
cov(Χ1,Χ2) =
, αν και μόνο αν Χ1,Χ2 γραμμικά εξαρτημένα
cov(Χ1,Χ2) = ΕΧ1Χ2 – Ε Χ1· ΕΧ2
D(X+Y) = DX + DY + 2cov(X,Y).
Έστω n- διάστατο τυχαίο διάνυσμα (X1,…,Xn). Πίνακας συνδιακύμανσης ονομάζεται :
Συντελεστής συσχέτισης των Χ και Υ ονομάζεται:
Εάν ρ(Χ,Υ) = 0 οι Χ και Υ ονομάζονται ασυσχέτιστες.
Η τιμή της δεσμευμένης μέσης τιμής Χ υπό τη συνθήκη Υ = yj δίνεται από τον τύπο:
, στη
διακριτή περίπτωση
και 
στη
συνεχή περίπτωση.
Ιδιότητες δεσμευμένης μέσης τιμής
EX = E[E(X|Y)]
E(g(X) ·h(Y)|Υ] = h(Y)· E(g(X) |Υ], για οποιεσδήποτε g, h.
Εάν Χ, Υ ανεξάρτητες,
E(X|Y) = ΕΧΗ
g(y) = E(X|Y=y] ονομάζεται παλινδρόμηση της Χ πάνω στην Υ.
Ασκήσεις
Έστω Χ ο αριθμός των τυχερών νούμερων σε ένα δελτίο ΛΟΤΟ. (βλέπε άσκηση 44
). Βρείτε την μέση τιμή της Χ.
Βρείτε την μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Μ που ακολουθεί την διωνυμική κατανομή.
Έστω Χ τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κατανομή
Poisson. Βρείτε την μέση τιμή της.
Έστω Χ τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή. Βρείτε την μέση τιμή της.
Βρείτε τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ που ακολουθεί την κατανομή:
, i=1,2,…
Βρείτε τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ που είναι κατανεμημένη ομοιόμορφα στο διάστημα [α,
b].
Βρείτε τη μέση τιμή της κανονικής τυχαίας μεταβλητής Χ με παραμέτρους
m και σ2.
Έστω Χ τυχαίας μεταβλητή που ακολουθεί την κατανομή
Weibull. Βρείτε τη μέση τιμή της.
Βρείτε τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ που ακολουθεί την Γάμα κατανομή.
Βρείτε τη μέση τιμή του κέρδους Υ στο ΛΟΤΟ όπως ορίστηκε στην άσκηση 45
.
Βρείτε τη διασπορά του αριθμού επιτυχιών Μ σε
n δοκιμές Bernoulli.
Βρείτε τη διασπορά της Χ, που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [α,
b].
Βρείτε τη διασπορά της Χ, που ακολουθεί την Γάμα κατανομή.
Έστω η δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή (Χ, Υ), που ακολουθεί την κανονική κατανομή που συναντήσαμε στην άσκηση 61
. Βρείτε τη συνδιακύμανση του (Χ, Υ).
Έστω (Χ
1, Χ2) τα αποτελέσματα ρίψης δύο ζαριών. Ορίζουμε Υ1=Χ1+Χ2 και Υ2=Χ1-Χ2 . Bρείτε τη συνδιακύμανση των Υ1 και Υ2.
Έστω (Χ
1, Χ2) δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή. Ορίζουμε Υ=Χ1+xΧ2+α . Βρείτε τις τιμές των x και α που δίνουν στην DY ελάχιστη τιμή.
Έστω η δισδιάστατη κανονική τυχαία μεταβλητή (Χ, Υ), που συναντήσαμε στην άσκηση 61. Βρείτε τη δεσμευμένη μέση τιμή Ε(Χ|Υ) που ονομάζεται παλινδρόμηση.
