Δεσμευμένη πιθανότητα

απ’ όπου βγαίνει ο τύπος πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων:

Ασκήσεις

Κατά την απογραφή του 1891 στην Μεγάλη Βρετανία, βρέθηκε ότι οι μελαχρινοί πατέρες με μελαχρινούς γιούς ανέρχονται στο 5% του πληθυσμού, οι μελαχρινοί πατέρες με ξανθούς γιούς στο 7,9% του πληθυσμού, οι ξανθοί πατέρες με μελαχρινούς γιούς στο 8,9% του πληθυσμού και οι ξανθοί πατέρες με ξανθούς γιούς στο 78,2%. Βρείτε την πιθανότητα να αποκτήσει ξανθό γιό ένας μελαχρινός άνδρας.

Σε τρεις ρίψεις νομίσματος βγήκε δύο φορές “Γράμματα”. Βρείτε την δεσμευμένη πιθανόητητα να βγήκε στην δεύτερη ρίψη “Γράμματα”.

Ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να εμφανισθεί με πιθανότητα 0.6 σε μία από τις 4 στοιβάδες του ατόμου και μάλιστα με ίση πιθανότητα σε οποιαδήποτε από τις στοιβάδες αυτές. Με την συμπληρωματική πιθανότητα 0.4το ηλεκτρόνιο χάνεται. Έστω ότι στις πρώτες τρεις στοιβάδες το ηλεκτρόνιο δεν εμφανίστηκε. Βρείτε την πιθανότητα να εμφανιστεί στην τέταρτη στοιβάδα.

Σε 7 κάρτες είναι γραμμένα τα γράμματα « Λ, Λ, Ο, Ο, Ο, Τ, Τ». Αφού τις ανακατέψουμε διαλέγουμε τυχαία τέσσερις και τις βάζουμε στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα να σχηματισθεί η λέξη ΛΟΤΟ.

Κρατάμε στο χέρι έξι όμοια κορδόνια έτσι ώστε οι άκρες τους να βγαίνουν από πάνω και από κάτω. Δένουμε τυχαία τις άκρες των κορδονιών ανά δύο, στην επάνω μεριά και αντίστοιχα στην κάτω μεριά. Βρείτε την πιθανότητα αφήνοντας τα κορδόνια ελεύθερα να έχει σχηματισθεί ένας βρόγχος.

Έστω δύο ρίψεις νομίσματος. Εξετάστε αν το αποτέλεσμα «Γράμματα» στην πρώτη ρίψη είναι ανεξάρτητο από το αποτέλεσμα «Γράμματα στη δεύτερη ρίψη.

Ως γνωστό, η πιθανότητα οι δίδυμοι να είναι του ίδιου φύλλου είναι περίπου 0.64, ενώ η πιθανότητα γέννησης αγοριού είναι περίπου 0.51. Βρείτε τη πιθανότητα ο δεύτερος δίδυμος να είναι αγόρι δεδομένου ότι ο πρώτος δίδυμος είναι επίσης αγόρι.

Τρεις έδρες κανονικού τετράεδρου χρωματίζονται μπλε, κόκκινη και πράσινη. Στην τέταρτη έδρα υπάρχουν και τα τρία χρώματα. Έστω Α το ενδεχόμενο σε τυχαία ρίψη του τετράεδρου «να πέσει σε έδρα με μπλε χρώμα», Β το ενδεχόμενο «να πέσει σε έδρα με κόκκινο χρώμα», Γ το ενδεχόμενο «να πέσει ε έδρα με πράσινο χρώμα». Εξετάστε εάν τα Α, Β, Γ είναι από κοινού ανεξάρτητα.

Σωματίδιο περνάει ανάμεσα από τρεις καταμετρητές, όπου μπορεί να πέσει σε καθέναν από αυτούς με πιθανότητες 0.3, 0.2 και 0.4 αντίστοιχα. Εάν πέσει στον πρώτο καταμετρητή, τότε καταγράφεται με πιθανότητα 0.6, εάν πέσει στον δεύτερο καταγράφεται με πιθανότητα 0.5 και στον τρίτο με πιθανότητα 0.55. Βρείτε την πιθανότητα καταγραφής του σωματιδίου.

Τρία εργοστάσια παράγουν όμοια προϊόντα με το πρώτο να δίνει το 50% της συνολικής παραγωγής, το δεύτερο το 20% και το τρίτο το 30%. Το πρώτο εργοστάσιο βγάζει ελαττωματική προϊόντα σε ποσοστό 1%, το δεύτερο σε ποσοστό 8% και το τρίτο σε ποσοστό 3%. Βρείτε την πιθανότητα να παρήχθη στο δεύτερο εργοστάσιο ένα τυχαίο προϊόν που ξέρουμε ότι βγήκε ελαττωματικό.

Δύο κυνηγοί πυροβολούν ταυτόχρονα με ίδιες σφαίρες το θήραμα. Το αποτέλεσμα είναι να σκοτωθεί το θήραμα από μία σφαίρα. Πώς θα πρέπει να μοιραστούν το θήραμα εάν είναι γνωστό ότι ο πρώτος έχει ευστοχία 30% ενώ ο δεύτερος 60%.

Σε ομάδα 15 φοιτητών οι πέντε πήραν «άριστα», επτά πήραν «λίαν καλώς» και τρεις πήραν «καλώς». Ως γνωστόν, ένας φοιτητής του «άριστα» σε ένα διαγώνισμα παίρνει άριστα με πιθανότητα 0.9 και λίαν καλώς με πιθανότητα 0.1.Ένας φοιτητής του «λίαν καλώς» παίρνει άριστα με πιθανότητα 0.1, λίαν καλώς με πιθανότητα 0.7 και καλώς με πιθανότητα 0.2. Τέλος ένας φοιτητής του «καλώς» παίρνει άριστα με πιθανότητα 0.1, λίαν καλώς με πιθανότητα 0.2 και καλώς με πιθανότητα 0.7. Εάν κάποιος φοιτητής της ομάδας πήρε σε ένα διαγώνισμα «λίαν καλώς» βρείτε την πιθανότητα να πάρει στο επόμενο διαγώνισμα «άριστα».