Επίπεδο και ευθεία στο χώρο

Η παραμετρική εξίσωση ενός επιπέδου παράλληλου προς δύο μη-συγγραμμικά διανύσματα $\vec{a}_{1}^{}$, $\vec{a}_{2}^{}$ που περνάει από ένα σημείο P₁ με διάνυσμα θέσης $\vec{r}_{1}^{}$ είναι

$$\vec{r}\, \vec{r}_{1}^{} \lambda \vec{a}_{1}^{} \mu \vec{a}_{2}^{} \lambda \mu \in \mathbb {R}$$ (26)

Το επίπεδο που περνάει από το P₁ και είναι κάθετο στο διάνυσμα $\vec{n}\,$ δίνεται από την εξίσωση

$$\vec{r}\, \vec{r}_{1}^{} \vec{n}\,$$ (27)

Σε συντεταγμένες η εξίσωση του επιπέδου είναι

$$\neq$$ (28)

Προφανώς το διάνυσμα $\vec{n}\,$ = (A, B, C) είναι κάθετο στο έν λόγω επίπεδο.

Δύο μη-παράλληλα επίπεδα ορίζουν μια ευθεία στο χώρο. H ευθεία που περνάει από το σημείο P₁ και είναι παράλληλη στo διάνυσμα $\vec{a}\,$ = ($\alpha$,$\beta$,$\gamma$) είναι

$${\frac{x-x_1}{\alpha}} {\frac{y-y_1}{\beta}} {\frac{z-z_1}{\gamma}}$$ (29)

Δύο επίπεδα A_ix + B_iy + C_iz + D_i = 0, i = 1, 2 είναι παράλληλα, αν

$${\frac{A_1}{A_2}} {\frac{B_1}{B_2}} {\frac{C_1}{C_2}}$$ (30)

ενώ συμπίπτουν, αν

$${\frac{A_1}{A_2}} {\frac{B_1}{B_2}} {\frac{C_1}{C_2}} {\frac{D_1}{D_2}}$$ (31)

Για την σχετική θέση τριών επιπέδων A_ix + B_iy + C_iz + D_i = 0, i = 1, 2, 3 σημαντικό ρόλο παίζουν οι τάξεις r(A), r(B) των πινάκων

$$\left(\vphantom{\begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array}}\right. \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{cccc} A_1&B_1&C_1&D_1\\ A_2&B_2&C_2&D_2\\ A_3&B_3&C_3&D_3\end{array}}\right. \begin{array}{cccc} A_1&B_1&C_1&D_1\\ A_2&B_2&C_2&D_2\\ A_3&B_3&C_3&D_3\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{cccc} A_1&B_1&C_1&D_1\\ A_2&B_2&C_2&D_2\\ A_3&B_3&C_3&D_3\end{array}}\right)$$ (32)

Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
(α) r(A) = r(B) = 1, τα τρία επίπεδα συμπίπτουν,
(β) r(A) = 1, r(B) = 2, τα τρία επίπεδα είναι παράλληλα,
(γ) r(A) = r(B) = 2, τα τρία επίπεδα διέρχονται από την ίδια ευθεία,
(δ) r(A) = 2, r(B) = 3, τα τρία επίπεδα είναι παράλληλα προς μία ευθεία, αλλά δεν είναι παράλληλα μεταξύ τους, ούτε διέρχονται από την ίδια ευθεία,
(ε) r(A) = r(B) = 3, τα επίπεδα έχουν κοινό ένα μόνο σημείο.

Δύο επίπεδα A_ix + B_iy + C_iz + D_i = 0, i = 1, 2 ορίζουν μιά αξονική δέσμη επιπέδων που δίνεται από την εξίσωση

$$\lambda_{1}^{} \lambda_{2}^{}$$ (33)

Τρία επίπεδα A_ix + B_iy + C_iz + D_i = 0, i = 1, 2, 3 που περνούν από ένα σημείο ορίζουν μιά κεντρική δέσμη επιπέδων με εξίσωση

$$\lambda_{1}^{} \lambda_{2}^{}$$

$$\lambda_{3}^{}$$ = 0. (34)

Η απόσταση ενός σημείου P₀(x₀, y₀, z₀) από ένα επίπεδο Ax + By + Cz + D = 0 δίνεται από την εξίσωση

$${\frac{A x_0+B y_0 +C z_0 +D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$$ (35)

Η απόσταση ενός σημείου P₀($\vec{r}_{0}^{}$) από την ευθεία που περνάει από το σημείο P₁($\vec{r}_{1}^{}$) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα $\vec{a}\,$ είναι

$${\frac{\vert( \vec{r}_0 - \vec{r}_1)\times \vec{a}\vert}{\vert \vec{a}\vert}}$$ (36)

Δύο ευθείες $\vec{r}\,$ = $\vec{r}_{i}^{}$ + t$\vec{a}_{i}^{}$, i = 1, 2 είναι ασύμβατες αν και μόνο αν ($\vec{r}_{2}^{}$ - $\vec{r}_{1}^{}$,$\vec{a}_{1}^{}$,$\vec{a}_{2}^{}$) $\neq$ 0. Η ελάχιστη απόσταση δύο ασύμβατων ευθειών είναι

$${\frac{\vert(\vec{r}_2- \vec{r}_1, \vec{a}_1,\vec{a}_2)\vert}{\vert \vec{a}_1 \times \vec{a}_2\vert}}$$ (37)